Un jardinier dispose d'un terrain rectangulaire de 12 m sur 8 m . Il désire que l'aire des deux allées doit représenter 1/6 de la superficie de son terrain. Le but de l'exercice est de déterminer la largeur x des allées. 1) Exprimez en fonction de x l'aire des deux allées. 2) a) Prouvez que le problème revient à résoudre l'équation x2 - 20x +16 = 0 b) Vérifiez que x2 - 20x + 16 = (x - 10)2 - 84. c) Déduisez en la largeur x.

Question

15-04-2013
Mathématiques

résolu

Un jardinier dispose d'un terrain rectangulaire de 12 m sur 8 m . Il désire que l'aire des deux allées doit représenter 1/6 de la superficie de son terrain. Le but de l'exercice est de déterminer la largeur x des allées. 1) Exprimez en fonction de x l'aire des deux allées. 2) a) Prouvez que le problème revient à résoudre l'équation x2 - 20x +16 = 0 b) Vérifiez que x2 - 20x + 16 = (x - 10)2 - 84. c) Déduisez en la largeur x.

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Allée horizontale : 12x

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Calcul final : 8x + 12x - x²

2. a)On sait que l'aire des deux allées est 8x + 12x - x²
Or il estime que l'aire des deux allées doit représenter 1/6 de la superficie de son terrain.
Soit, l'aire du terrain est de 96 m² :
8*12 =96
Donc 1/6 de 96 = 16 m²
x² - 20x + 16 = 0

b) vérifier que :
x² - 20x + 16 = 0
x² - 20x + 100 - 84 = 0
(x - 10)² - 84 = 0

c) largeur de x :
(x - 10 - √84)(x - 10 + √84) = 0

x - 10 - √84 = 0
x = 10 + √84
x ≈ 19,17 m impossible trop larges

x - 10 + √84 = 0
x = 10 - √84
x ≈ 0,83 m