résolu

ALGEBRES LINEAIRES

 

calculer x1, x2, x3, x4 et x5 dans les suites suivantes :

a) x0 = 0; x1 = 1; xn = xn-1 + 2x-n2;

b) x0 = 1; x1 = 1; xn = xn-1 + x-n2;

 

le plus important ce que je n'arrive pas à faire :

 

Résoudre ces relation de récurrence i.e. trouver toutes les suites xn = f(n) qui satisfont ces relations.

Répondre :

a)x0=0

x1=1

x2=1+2*0=1

x3=1+2*1=3

x4=3+2*1=5

x5=5+2*3=11

 

xn=x(n-1)+2*x(n-2)

xn-x(n-1)-2*(x-2)=0

r^2-r-2=0

∆=1+8=9

r1=(1+3)/2=2

r2=(1-3)/2=-1

 

xn=a*(2^n)+b(-1)^n

x0=0

0=a+b==> a=-b

x1=1

1=a*2-b=-3b

b=(-1/3)

a=1/3

xn=(1/3)*(2^n)-(1/3)*(-1)^n

 

b)x0=1

x1=1

xn=x(n-1)+x(n-2)

xn-x(n-1)-x(n-2)=0

r^2-r-1=0

∆=1+4=5

r1=(1+√5)/2

r2=(1-√5)/2

xn=a(r1)^n+b(r2)^n

x0=1

a+b=1 ==> b=1-a

x1=1=a(1+√5)/2+b(1-√5)/2

a=(√5+5)/10

b=(5-√5)/5

xn=((√5+5))/10*(1+√5)/2)^n+((5-√5)/5)*(1-√5)/2)^n

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