résolu

Bonjour, Pouvez vous m'aidez s'il vous plait On souhaite montrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel 1. Pour cela on va établir le préambule suivant : Si p² est pair, alors p est paire Si p² est impair, alors p est impair. A. Montrer que si p est pair, alors p² est pair B. Montrer que si p est impaire, alors p² est impair C. En déduire le résultat annoncé. 2. Pour montrer que √2 est un nombre irrationnel, on va supposer le contraire et montrer que cela n’est pas possible. On suppose donc que √2 s’écrit sous la forme d’une fraction irréductible p --- q (q différent de zéro) a. Montrer que p² est un nombre pair b. Justifier alors que p s’écrit sous la forme de 2p’. c. En déduire que q est un nombre pair d. Expliquer la contradiction obtenue et conclure

Répondre :

1)p nombre pair:

p=2n==> p^2=4n^2  ==>p^2 est pair

p nombre impair

p=2n+1==> p^2=4n^2+4n+1 =4n(n+1)+1==>p^2 impair

donc si  p est pair alorsp^2 est pair et si ^pest impair alors p^2 est impair

==> p est pair si et seulement si p^2 est pair

2a) supposons que √2=p/q (q≠0) irrédutible ( non simplifiable)

2=(p^2)/q^2) ==> 2.q^2=p^2 donc p^2 est pair (multiple de 2)

2b)

 si p est pair alors p=2p'==> p^2=4p'^2

2c)q^2=p^2/2=(4p'^2)/2=2p'^2===> donc q^2 est pair==> q est pair==> q=2q'

d'où p/q =2p'/2q' n'est irréductible , ce qui contredit les données

==> √2 est un irrationnel

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