résolu

C est un cercle de diamètre [AB] et de centre O. M est un point de C distinct de A et de B. Le point R appartient au segment [OA]. La perpendiculaire à (AB) passant par R coupe la droite (AM) en P et la droite (BM) en Q. Montrer que le point I d'intersection des droites (BP) et (AQ) appartient au cercle C .

Répondre :

AMB est rectangle en M ; (QR) est perpendicualire à (AB)

donc (QR) et (AM) représente 2 hauteurs du triangle AQB

les 3 hauteurs de ce triangle se rencontrent en l'orthocentre H.

(BH) est perpendiculaire à (AQ) au point I donc (BI) est perpendiculaire à (AQ)

ainsi (BI) est aussi perpendiculaire à (AQ) puisqu'alors (BI) représente la 3ème hauteur du triangle AQB.

 

Par conséquent, AIB est rectangle en I

d'après la réciproque du théorème de l'angle circonscit, I appartient au cercle de daimètre [AB]

soit encore : I appartient au cercle (C)

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