résolu

Bonjour,

 

J'ai un exercice à faire en maths, et je bloque dés la premiere question, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.

 

Voici l'exercice:

 

I- On considere un triangle ABC tel que AB= 2cm, AC=2,8cm et BC=3,2cm

 

   1. Determiner une mesure des angles A, B et C à 0,1°C pres. (j'ai utilisé Al-Kashi mais mes resultats sont faux)

 

  2. Calculer à 10^-2 cm pres la longueur de la hauteur ainsi que la mediane issue de A (pour ça je pense au produit scalaire mais je suis pas sur)

 

Et pour moi la partie II est vraiment trop corcé..

 

II- ABC est un triangle. On note A, B, C les mesures ses angles et a, b, c les distances BC, AC, AB.

 

  1. Montrer que AB²= vecteu(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC) puis ques c= b cosA+a cosB

  

  2. En deduire que a+b+c= (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC et que a²+b²+c²=2(bc cosA+ac cosB+ ab cosC)

 

  3. Simplifier l'expression ((cosA)/a)+((cosB)/b)+((cosC)/c).

 

Voila mon probleme.. Merci d'avance pour votre aide :)

Répondre :

bonjour

c'est en effet un exo d'application de la formule d'Al Kashi

 

I 1) calcul de l'angle en A

BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cosA <=> cosA = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC) = env. 0.14

arccos => angle en A = env 81.8°

 

pour l'angle en B

AC²= AB² + BC² - 2*AB*BC*cosB <=> cosB = (AB²+BC²-AC²)/(2AB*BC) = 0.5

B (chapeau) = 60°

 

pour C, tu peux faire le mm calcul - pour controle, mais le plus simple est

angle en C = 180- angle en A - angle en B = enc. 38.2°

 

2) médiane issue de A

soit M milieu de [BC] : BM = 3.2/2 = 1.6

Al Kashi :

AM² = AB² + BM² - 2 * AB * BM * cos(60) <=>

AM = env. 1.83

 

soit H le pied de la hauteur issue de A

considère les 2 tr. rect. AHB et AHC, et applique Pythagore

AHB : AB² = AH² + HB² <=> AH² = AB²-HB²

AHC : AC² = AH² + HC² <=> AC² = AB²-HB²+HC²

 

or HC = BC-HB

donc AC² = AB²-HB²+ (BC-HB)²

développe, réduis, remplace par les valeurs, calcule

j'arrive à AH = env. 1.99cm

 

II 1) Al Kashi encore

BC² = AB² + AC² - 2*vectAB . vectAC

AC² = AB² + BC² - 2*vectBA . vectBC

--------------------------------------------- addition membre à membre, puis simplification

AB² = vecteu(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC)

 

 

BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(A)

AC² = AB² + BC² - 2*BA*BC*cos(B)

--------------------------------------------- addition membre à membre, puis simplification

AB = AC*cos(A)+ BC*cos(B)  <=> c= b cosA+a cosB

 

2) fais de mm pour les autres, on trouve

a= b cosC+c cosB

b= a cosC+c cosA

c= b cosA+a cosB

------------------------ addition membre à membre, puis factorisation

a+b+c= (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC

 

je pense que tu peux terminer.

1) BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC cos A

cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC

A==> 81,8°

AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BCcos C

cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/2AC*BC=

C==> 38,2°

B=180-(81,8+38,2)=60°

hauteur issue de A=AH

aire =(1/2)BC*BA*sin60=(1/2)BC*BA*√3/2

aire =(1/2)*AH*BC =(1/2)BC*BA*√3/2

==> AH=√3

médiane issue de A =AI I milieu de [BC]

théorème de la médiane

AB^2+AC^2=2AI^2+BC^2/2

AI^2=(AB^2+AC^2-BC^2/2)/2

AI≥0

AI=√3,36

AI=1,83…cm

 

II

1):vecteur(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC)=vAB.VAC-vAB.vBC=vAB(vAC-vBC)=vAB*(vAC+vCB)=vAB.vAB=AB^2

  vecteu(AB).vecteur(AC)+vecteur(BA).vecteur(BC) =AB.AC cos A+BA.BC cosB=AB^2

AB≠0

ACcosA+BCcos B=AB

==> bcosA+a cosB=c

2)

de même on démontre  que

a=b.cos C+c.cos B

b=a.cos C+c cos A

==> on addition et on factorise

 a+b+c= (b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC 

 

a=b.cos C+c.cos B==>a^2=abcos C +ac.cos B

b=a.cos C+c cos A==>b^2=abcos C+bc .cos A

c= bcosA+a cosB==> c^2=bccos A+ac.cosB

==> a^2+b^2+c^2=abcos C +ac.cos B+abcos C+bc .cos A+bccos A+ac.cosB=2(bc.cosA+ac.cos B+ ab.cos C)

3)

2(bc.cosA+ac.cos B+ ab.cos C)/(2abc)=(cosA/a  )+(cosB/b)+(cos C/c)=(a^2+b^2+c^2)/(2abc)

 

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