Une suite réelle (Un) est définie par ses deux premiers termes U0 et U1 et par la relation de récurrence Un+1=4(Un-Un-1) n≥1.
1° calculer U2, U3 et U4 en fonction de U0 et U1 .
2° Montrer que la suite (Vn) définie par Un=2nVn vérifie pour n≥1 la relation de récurrence Vn+1—Vn=Vn—Vn—1.
4° En déduire l'expression de Vn en fonction de n , U0 et U1 puis celle de Un en fonction de n, U0 et U1.
5° On pose que U0=1 et U1=2 . Calculer S = U0 +U1 +.....+ Un
[tex]U_n=2^{n-1}nU_1-2^n(n-1)U_0[/tex]1°[tex]U_2=4U_1-4U_0 [/tex]
[tex]U_4=32U_1-48U_0 [/tex]
[tex]U_3=12U_1-16U_0[/tex]
2)n≥1
[tex]U_n=2^nV_n [/tex]
[tex] V_{n+1}-V_n
=\frac{4U_n-4U_{n-1}}{2^{n+1}-\frac{U_n}{2^n}}
=\frac{2U_n-4U_{n-1}}{2^{n+1}}[/tex]
[tex]
=\frac{U_n}{2^n}-\frac{U_{n-1}}{2^{n-1}}[/tex][tex]=V_n-V_{n-1}[/tex]
==> la suite(Vn) est arithmétique de raison V2-V1
3)[tex]V_n=\frac{U_1}{2}+(n-1)(\frac{U_1}{2}-U_0)[/tex][tex]V_n=\frac{nU_1}{2}-(n-1)U_0
U_n=2^nV^n[/tex]