résolu

On considère un rectangle ABCD de dimension AB = 9 cm et AD = 6 cm. On place un point M sur le segment [AB]; on construit les points N, P et R, respectivement sur [BC], [CD] et [AD], tels que AM = BN = CP = DR.
Le quadrilatère MNPR obtenu est un parallélogramme.

1°. Pour quelles valeurs de AM, la construction est-elle réalisable?
2°. Où doit-on placer le point M pour que l'aire du parallélogramme MNPR soit minimale? (on pourra poser AM = x cm et déterminer l'aire du parallélogramme MNPR en fonction de x) 

 

Merci pour votre aide.
 

Répondre :

pose AM = BN = CP = DR = x

 

aire du parallélogramme MNPR =

aire du rectangle ABCD - (aire des 4 triangles RAM, MBN, NCP, et PDR)

 

aire RAM = aire NCP =  base* hauteur / 2 = AM * (6-x)/2 = x * (6-x)/2

aire MBN = aire PDR =  base* hauteur / 2 = x * (9-x)/2

 

donc

aire MNPR = continue...

 

développe, réduis,

tu obtiens une fonction trinome, dont le minimum est atteint en -b/2a (ou alpha).

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