Diidie
résolu

On sait qu'une fonction f est dévrivable sur R, qu'il existe x0 appartient R tel que f(x0) différent de 0 et qu pour tout réels x et y f(x+y)=f(x)f(y)

 

1) Montrer que f a des valeurs positives.

2) Montrez que f(0)=1

3) Soit a un réel fix. Montre que, pour tout réel x, f'(x+a)=f(a)f'(x)

4) On suppose que f'(0)>0

     a) Quel est le sens de variation de f ?

     b) Déterminez lim (x -> + l'infinie) f(x)

5) Une fonction strictement croissante et à valeurs strictement positives diverge-t-elle forcément vers + l'infinie

Répondre :

si f s'annule en x1, alors f(x1+(x0-x1))=f(x0) vaut f(x0-x1)f(x1) donc 0 CONTRADICTION

s'il existe x2 tel que f(x2)<0 alors f(2x2) est >0 et f s'annule en  un point de [x2,2x2] CONTRADICTION avec ce qui précéde

donc f est strictement positive sur R

 

f(x+0)=f(0)f(x) donne f(0)=1

 

f(x+a)=f(x)f(a) donne par dérivation f'(x+a)=f(a)f'(x)

donc, si f' est >0 pour un x, elle est positive pour tout x car f(a)>0

f est donc croissante

et comme elle n'est pas bornée car pour tout x verifiant f(x)>1, f(nx)=(f(x))^n tend vers +inf, elle tend vers +inf

SAns cette condition, de "non bornée", elle pouvait très bien avoir une asymptote horizontale (ex : 10-1/x pour x>0.1)

 

 

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