Répondre :
∀x∈R, f(x)=x⁴-x²+1
1) Etude du sens de variation
∀x∈R, f'(x)=4x³-2x=x(4x²-2)=2x((√2x)²-1²)=2x(√2x-1)(√2x+1)
Faire le tableau de variation, on obtient :
∀x∈]-∞;-1/√2[U]0;1/√2[, f'(x)<0 d'où f est strictement décroissante
∀x∈]-1/√2;0[U]1/√2;+∞[, f'(x)>0 d'où f est strictement croissante
f(-1/√2)=0 et f décroissante avant -1/√2 et croissante après -1/√2 démontre qu'il existe un minimum en -1/√2 avec f(-1/√2)=(-1/√2)⁴-(-1/√2)²+1=1/4-1/2+1=3/4
donc f admet un minimum de coordonnées (-1/√2;3/4)
f(0)=0 et f croissante avant 0 et décroissante après 0 démontre qu'il existe un minimum en 0 avec f(0)=(0)⁴-(0)²+1=0+0+1=1
donc f admet un minimum de coordonnées (0;1)
f(1/√2)=0 et f décroissante avant 1/√2 et croissante après 1/√2 démontre qu'il existe un minimum en 1/√2 avec f(1/√2)=(1/√2)⁴-(1/√2)²+1=1/4-1/2+1=3/4
donc f admet un minimum de coordonnées (1/√2;3/4)
2)soit M∈P : y=1-x²
O(0;0) et M(x;1-x²)
d'où OM²=(xM-xO)²+(yM-yO)²
=(x-0)²+(1-x²-0)²
=x²+(1-x²)²
=x²+(1-2x²+x⁴)
=x²-2x²+1+x⁴
=x⁴-x²+1=f(x) => OM²=f(x)
3)OM²=f(x) donc OM=√f(x)
pour que OM soit minimale, il faut calculer sa dérivée
(√f(x))'=(1/2)(f'(x))/√f(x) avec le dénominateur ≠ 0 car une √ est toujours >0
donc le signe de (√f(x))' est identique à celui de f'(x)
or f' admet 2 minimums en -1/√2 et en 1/√2
d'où OM mini=√f(-1/√2)=√f(1/√2)=√(3/4)=(√3)/2≈0,87