Répondre :
∀x∈]0;+∞[ par f(x)=x²+1-2lnx
1°a) calculer lim f(x) quand x tend vers 0
lim(x->0)f(x)=lim(x->0)x²+lim(x->0)1+lim(x->0)-2lnx
lim(x->0)x²=0
lim(x->0)1=1
lim(x->0)-2lnx=[lim(x->0)-2][lim(x->0)lnx]=(-2)(-∞)=+∞
d'où lim(x->0)f(x)=0+1+∞ =>lim(x->0)f(x)=+∞
b) interpréter géométriquement le résultat obtenu au a).
Quand lim(x->0)f(x)=+∞, x=0 est asymptote verticale à C
2°) vérifier que, pour x∈ ]0;+∞[, f(x)=x²(1+1/x²-2lnx/x²)
∀x∈]0;+∞[ par f(x)=x²+1-2lnx=x²(1+1/x²-2lnx/x²) cqfd (factorisation par x²)
en déduire lim f(x) quand x tend vers +∞
lim(x->+∞)f(x)=[lim(x->+∞)x²][lim(x->+∞)1+lim(x->+∞)1/x²+lim(x->+∞)-2lnx/x²]
lim(x->+∞)x²=+∞
lim(x->+∞)1=1
lim(x->+∞)1/x²=0
lim(x->+∞)-2lnx/x²=-2lim(x->+∞)lnx/x² or on sait que lim(x->+∞)lnx/x²=0
d'où lim(x->+∞)-2lnx/x²=(-2)(0)=0
d'où lim(x->+∞)f(x)=(+∞)(1+0-0)=(+∞)(1)=+∞
1°) ∀t∈ ]0;+∞[, f(t)=10-20e-0,2t
a) calculer lim f(t) quand t tend vers +∞
lim(t->+∞)f(t)=lim(t->+∞)10-lim(t->+∞)20e-0,2t
lim(t->+∞)10=10
lim(t->+∞)20e-0,2t=20lim(t->+∞)e-0,2t on pose T=-0,2t et quant t->+∞, T->-∞
donc lim(t->+∞)e-0,2t=lim(T->-∞)eT=0 donc lim(t->+∞)20e-0,2t=20(0)=0
d'où lim(t->+∞)f(t)=10-0=10
b) en déduire que la courbe représentative de f dans un repère (O;I;J) admet une asymptote dont on donnera une équation.
Quand lim(t->+∞)f(t)=10, y=0 est asymptote horizontale à la courbe représentative
de f
2°) ∀x∈]0;+∞[, g(x)=150/1+e1-x
a) calculer lim g(x) quand x tend vers +∞
lim(x->+∞)g(x)=(lim(x->+∞)150)/(lim(x->+∞)1+lim(x->+∞)e1-x)
lim(x->+∞)150=150
lim(x->+∞)1=1
lim(x->+∞)e1-x on pose X=1-x et quant x->+∞, X->-∞
donc lim(x->+∞)e1-x=lim(X->-∞)eX=0
d'où lim(x->+∞)g(x)=150/(1+0)=150/1=150
b) interpréter graphiquement le résultat obtenu au a)
Quand lim(x->+∞)g(x)=150, y=150 asymptote horizontale à la courbe représentative
de g