résolu

démontrez que , quelque soient les entiers positifs x et y (y<x) le triangle ABC de cotés : AB=2xy , BC=x²-y² et AC=x²+y² est un triangle rectangle . 

Répondre :

Bonjour,

Il suffit de vérifier si AC² = AB² + BC²

[tex]AC^2 = (x^2 + y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4\\\\AB^2 = (2xy)^2 = 4x^2y^2\\\\BC^2=(x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4\\\\AB^2+BC^2=4x^2y^2+x^4-2x^2y^2+y^4\\\\AB^2+BC^2=x^4+2x^2y^2+y^4\\\\AB^2+BC^2=AC^2[/tex]

Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AC] est l'hypoténuse.
Le triangle est donc rectangle en B.

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