résolu

OOn considère les paraboles P1 et P2 d'equations respectib=ves:
y=x²+1 et y=-x²-1
On se propose de determiner le nombre de tangentes communes aux deux courbes et les coordonnees des points de contact.
1. Tracer ces deux paraboles dans un repere
2) Le dessin suggere quil existe deux tangentes communes
Dessiner ces deux tangentes.
3. Soit A le point de contact, d'abscisse a , de l'un des tangentes avec la courbe P1
B est le point de contact de la meme tangenete avec la courbe P2
En utilisant la symetrie de la figure, determiner les coordonnees de A et de B
4) Calculer de deux facons differentes , le coefficient directeur de la droite AB
EN resolvant lequation, determiner les valeurs de a possible. conclure

Répondre :

Bonjour,

1) 2) Graphiques en pièce jointe.

3) A (a ; a² + 1) et B (-a ; -a² - 1)

4) Coefficient directeur de la droite (AB) :  [tex]\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{(-a^2-1)-(a^2+1)}{-a-a}=\dfrac{-a^2-1-a^2-1}{-2a}\\\\=\dfrac{-2a^2-2}{-2a}=\dfrac{-2(a^2+1)}{-2a}=\dfrac{a^2+1}{a}[/tex]

Ou également : coefficient directeur de la tangente (AB) = f'(a).

f'(x) = (x² + 1)' = (x²)' + 1' = x + 0 = 2x

===> coefficient directeur de la tangente (AB) = 2a.

[tex]2a=\dfrac{a^2+1}{a}\\\\2a^2=a^2+1\\\\2a^2-a^2-1=0\\\\a^2-1=0\\\\(a-1)(a+1)=0\\\\a-1=0\ \ ou\ \ a+1=0\\\\a=1\ \ ou\ \ a=-1[/tex]

Il existe donc deux tangentes communes aux deux paraboles.

La première tangente passe par les points A(1;2) et B(-1;-2)
La seconde tangente passe par les points A'(-1;2) et B'(1;-2)



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