résolu

On considere l'équation differentielle (E):  y'-y=2sinx
1) Résoudre l'équation (E'): y'-y=0
2) Déterminer les réels a et b pour g est solution de (E)
g(x)=asinx+bcosx
3) En déduire que la fonction f est solution de (E) en résulte que (f-g) est solution de (E')
4)- En déduire toutes les solutions de (E)
   - Déterminer la fonction (E) qui prend pour valeur: f(pi)=0
   - Résoudre dans R f(x)+ e^(x-pi)=0

Répondre :

Bonjour,

1) y ' = y ==> [tex]y(x)=ke^x[/tex]

2) g est solution de (E) <==> (asinx+bcosx)' - (asinx+bcosx) = 2sinx
                                        <==> acosx - bsinx - asinx - bcosx = 2sinx
                                         <==> (a-b)cosx - (a+b)sinx = 2sinx
                                         <==> a-b = 0 et -a-b = 2
                                          <==> a = -1 et b = -1
g(x) = -cosx - sinx

3) f est solution de (E) <==> f ' - f = 2sinx
                                       <==> f' - f = g' - g
                                       <==>(f-g)' - (f-g)=0
                                       <==> (f-g) est solution de (E')

4) f est solution de (E) <==> f-g est solution de (E')
                                       <==> [tex]f(x) - g(x)= ke^x[/tex]
                                       <==>  [tex]f(x) = ke^x - cosx - sinx[/tex]

[tex]f(\pi) = 0\\\\ke^\pi - cos\pi - sin\pi=0\\\\ke^\pi+1=0\\\\k=\dfrac{-1}{e^\pi}\\\\k=-e^{-\pi}[/tex]

d'où  [tex]f(x)=-e^{-\pi}e^x-cosx-sinx[/tex]

[tex]f(x)=-e^{x-\pi}-cosx-sinx[/tex]

************************

[tex]f(x)+e^{x-\pi}=0\\\\-e^{x-\pi}-cosx-sinx+e^{x-\pi}=0\\\\-cosx-sinx=0\\\\sinx=-cosx\\\\\dfrac{sinx}{cosx}=-1\\\\tanx=-1\\\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi \ \ (k\in Z)[/tex]




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