résolu

1) La somme de deux nombres réels positifs est égamlle à 7.
Pour quelles valeurs de ces deux nombres leur produit est-il maximum ?
2) Même question, la somme deux nombres étant fixe et égale à A.
3) Le produit de 2 nombres réels strictement positifs est égal à une constante, notée B.
Pour quelles valeur de ces deux nombres leur somme est-elle minimale ?

Répondre :

1) On a x + y = 7 donc (x = 0 et y = 7) ou ( x = 1 et y = 6) ou (x = 2 et y = 5) ou (x = 3 et y = 4) ou (x = 4 et  y = 3) ou (x = 5 et y =  2) ou (x = 6 et y = 1) ou (x = 7 et y = 0) , donc x * y est égal à 0 ou 6 ou 10 ou 12 , donc le produit est maximal pour (x =3 et y = 4) ou (x = 4 et y = 3) .
2) Si A est pair le produit est maximal pour (A^2)/4 , et si A est impair le produit est maximal pour (A^2 - 1)/4 .
3) On a x * y = B > 0 donc y = B/x .
Soit f(x) = x + B/x définie sur IR*+ , donc f'(x) = 1 - B/x^2 qui est nulle pour x = racine(B), donc f atteint son minimum pour x = racine(B) , x + y est minimale quand elle prend la valeur racine(B) + B/racine(b) = racine(B) + racine(B) = 2 racine(B) càd quand x = y = racine(B) .

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