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La suite Fibonacci est la suite (Un) définie par
U0=U1=1 et Un+2= Un+1+Un pour tout entier n
1. Déterminer les termes de (Un) de U2 à U6.
il s'agit de la suite de Fibonacci
1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;...
2. On considère la suite (Vn) telle que pour tout entier n, Vn = (Un+1/Un). Déterminer les 6 premiers termes de la suite (Vn) sous forme fractionnaire.
V0=1;V1=0,5;V2=0,666;V3=0,6;V4=0,625;V5=0,615;....
3. Montrer que pour tout entier n, V(n+1) = 1 + 1/Vn
V(n) = U(n+1)/U(n)
V(n+1) = U(n+2)/U(n+1)
=(U(n+1)+U(n))/U(n+1)
=U(n+1)/U(n+1)+U(n)/U(n+1)
=1+1/(U(n)/U(n+1))
=1+1/V(n)
4. A faire sur calculette donc pas besoin d'aide.
laissé au lecteur.......
5. On admettra que la limite de cette suite est la solution positive de l'équation 1 + 1/x = x.
Cela provient de th du point fixe
lim(V(n))=x=lim(V(n+1)
a) Montrer que l'équation 1 + 1/x = x est équivalente à l'quation x²-x-1=0 puis montrer que l'équation x²-x-1=0 est équivalente à l'équation (x -1/2)² - (racine carrée de 5/2)²=0
1 + 1/x = x donc x+1=x²
donc x²-x-1=0
donc x²-x-1/4=5/4
donc (x-1/2)²=(rac(5)/2)²
b) Résoudre cette dernière équation et conclure sur la limite de (Vn).
delta=5
x=(1-rac(5))/2 ou x=(1+rac(5))/2
donc lim(V(n))=(1+rac(5))/2
U0=U1=1 et Un+2= Un+1+Un pour tout entier n
1. Déterminer les termes de (Un) de U2 à U6.
il s'agit de la suite de Fibonacci
1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;...
2. On considère la suite (Vn) telle que pour tout entier n, Vn = (Un+1/Un). Déterminer les 6 premiers termes de la suite (Vn) sous forme fractionnaire.
V0=1;V1=0,5;V2=0,666;V3=0,6;V4=0,625;V5=0,615;....
3. Montrer que pour tout entier n, V(n+1) = 1 + 1/Vn
V(n) = U(n+1)/U(n)
V(n+1) = U(n+2)/U(n+1)
=(U(n+1)+U(n))/U(n+1)
=U(n+1)/U(n+1)+U(n)/U(n+1)
=1+1/(U(n)/U(n+1))
=1+1/V(n)
4. A faire sur calculette donc pas besoin d'aide.
laissé au lecteur.......
5. On admettra que la limite de cette suite est la solution positive de l'équation 1 + 1/x = x.
Cela provient de th du point fixe
lim(V(n))=x=lim(V(n+1)
a) Montrer que l'équation 1 + 1/x = x est équivalente à l'quation x²-x-1=0 puis montrer que l'équation x²-x-1=0 est équivalente à l'équation (x -1/2)² - (racine carrée de 5/2)²=0
1 + 1/x = x donc x+1=x²
donc x²-x-1=0
donc x²-x-1/4=5/4
donc (x-1/2)²=(rac(5)/2)²
b) Résoudre cette dernière équation et conclure sur la limite de (Vn).
delta=5
x=(1-rac(5))/2 ou x=(1+rac(5))/2
donc lim(V(n))=(1+rac(5))/2