résolu

Bonjour, si quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait.

1) Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que : P(x-1)-P(x)=2x et P(0)=0 

2) En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: 

3) En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls. 

Répondre :

1) Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que : P(x-1)-P(x)=2x et P(0)=0 
P(x)=ax²+bx+c
P(x-1)=a(x-1)²+b(x-1)+c
         =a(x²-2x+1)+bx-b+c
         =ax²+(b-2a)x+(a-b+c)
P(x-1)-P(x)=(-2a)x+(a-b)
                =2x+0
donc -2a=2 et a=b
donc a=b=-1
P(0)=0 donc c=0

2) En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: 
on déduit que :
2+4+6+...+(2n)=n²+n

3) En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.
par conséquent :
1+2+3+...+n=(n²+n)/2

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