résolu

On considère la suite (Un) définie sur |N par Uo=1 et, pour tout n supérieur ou égal à 0, Un+1=Un+2n+3. 
1. Démontrer que, pour tout n de |N, Un strictement supérieur à n². 
2. Conjecturer une expression de Un en fonction de n puis démontrer cette conjecture. 

Répondre :

Pn: Un>n²

Initialisation:
On a Uo=1
et 0²=0
Uo>0² donc Po est vraie.

Hérédité:
Supposons (Pn) vraie pour un certain entier naturel n.
Hyphotèse de récurrence: Un>n²
On doit démontrer que Un+1>(n+1)²

de Un>n² on déduit
    Un+2n>n²+2n
    Un+2n+3>n²+2n+3
    Un+1>n²
Pn+1 est donc vraie
Po est vraie et Pn est héréditaire,  Pn est donc vraie pour tout entier naturel n.
Voila pour la question 1)


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