Olly
résolu

Bonjour j'ai un problème que je ne comprend pas , je vous remercie d'avance pour votre aide !!!

Un rectangle a un périmètre égal à 8 m et une aire égale à 1m². ON se propose de déterminer les dimensions x et y de ce rectangle.

1. Expliquez pourquoi la situation se traduit par :

xy=1

x+y=4 avec x 0<x et 0<y

2. Montrez que les valeurs possibles de x vérifient :

1/x = -x +4 avec 0<x 3.

    A. Résoudre graphiquement cette équation.

    B. En déduire une résolution approchée du problème posé.

4. A. Développer (x-2)²-3 B. En déduire les valeurs exactes de x et y.

Répondre :

Fabrice

1. Expliquez pourquoi la situation se traduit par :

xy=1 car l'aire d'un rectangle c'est coté * coté donc xy = 1m²
x+y=4 car le périm d'un rect c'est 2x + 2y = 8m donc 2(x+y) = 8
x+y = 8/2
x+y = 4m

2. Montrez que les valeurs possibles de x vérifient :
1/x = -x +4

xy=1 donc y = 1/x

x+y = 4 on remplace y par 1/x :
x + 1/x = 4
1/x = 4 - x
donc :
1/x = -x +4
-x + 4 - 1/x = 0
(-x² + 4x - 1)/x = 0
donc c'est résoudre :
x² - 4x + 1 = 0
qui est de la forme (a² - 2ab + b²) = (a-b)²
donc recherche de la forme canonique,
on a un départ avec :
(x - 2)² = x² - 4x + 4

on veut 1 donc on ajoute -3
(x - 2)² - 3 = 0
(x - 2)² - (V3)² = 0
(x - 2 - V3)(x - 2 + V3) = 0

comme le résultat ne peut être que positif la seule solution est :
 x = 2 + V3

4. A. Développer (x-2)²-3
(x-2)²-3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1

B. En déduire les valeurs exactes de x et y.
 x = 2 + V3
 y = 1/x = 1/(2 + V3)
 
 En espérant t'avoir aidé.

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