Je voudrais que vous m'aider pour ce problème de maths.
100 prisonniers sont condamnés à mort. Le directeur de la prison propose un challenge à nos prisonniers :
- il leur attribue à tous un numéro entre 1 et 100
- il installe dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs, dans chacun desquels il met aléatoirement un et un seul numéro entre 1 et 100. Chaque numéro apparait une et une seule fois.
Il propose à chaque prisonnier de venir ouvrir 50 tiroirs de son bureau, pour regarder le numéro qui est dedans. Les prisonniers sont d'abord réunis pour élaborer une stratégie puis envoyer dans un ordre aléatoire dans le bureau. Une fois passés dans le bureau, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre eux, ni changer les numéros de place, ni laisser un tiroir ouvert, ni coller un chewing-gum sur l'interrupteur de la lampe... Ils ne verront jamais les autres prisonniers avant le jugement dernier.De deux choses l'une :
- Tous les prisonniers ont trouvé leur numéro en ouvrant les tiroirs auxquels ils avaient droit : ils sont tous graciés.
- Sinon, ils sont tous exécutés.
Un probabiliste dans le groupe des prisonniers dit : "aie aie aie ! On est mal : 1 chance sur 2^100 de s'en sortir". A-t-il vraiment raison ? N'y a-t-il pas un moyen d'augmenter cette probabilité ?

Question

27-08-2013
Mathématiques

résolu

Je voudrais que vous m'aider pour ce problème de maths.
100 prisonniers sont condamnés à mort. Le directeur de la prison propose un challenge à nos prisonniers :
- il leur attribue à tous un numéro entre 1 et 100
- il installe dans son bureau une armoire avec 100 tiroirs, dans chacun desquels il met aléatoirement un et un seul numéro entre 1 et 100. Chaque numéro apparait une et une seule fois.
Il propose à chaque prisonnier de venir ouvrir 50 tiroirs de son bureau, pour regarder le numéro qui est dedans. Les prisonniers sont d'abord réunis pour élaborer une stratégie puis envoyer dans un ordre aléatoire dans le bureau. Une fois passés dans le bureau, les prisonniers ne peuvent pas communiquer entre eux, ni changer les numéros de place, ni laisser un tiroir ouvert, ni coller un chewing-gum sur l'interrupteur de la lampe... Ils ne verront jamais les autres prisonniers avant le jugement dernier.De deux choses l'une :
- Tous les prisonniers ont trouvé leur numéro en ouvrant les tiroirs auxquels ils avaient droit : ils sont tous graciés.
- Sinon, ils sont tous exécutés.
Un probabiliste dans le groupe des prisonniers dit : "aie aie aie ! On est mal : 1 chance sur 2^100 de s'en sortir". A-t-il vraiment raison ? N'y a-t-il pas un moyen d'augmenter cette probabilité ?

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Аноним Аноним · Answer 1 · 2013-08-28T09:11:03+02:00

C'est un problème assez classique de Théorie des Groupes (Maths Sup)
La solution optimale est la suivante :
- Chaque prisonnier choisit un tiroir au hasard parmi les 100
- Chaque prisonnier ouvre ensuite le tiroir correspondant au n° du 1er tiroir choisi

Ainsi, la probabilité pour que le groupe soit gracié est :
[tex]p=1-\sum_{k=51}^{k=100} \frac {1} {k} \approx 0,31182782[/tex]

et on a:
[tex]p'=\frac {1} {2^{100}} \approx 7,888609 \times 10^{-31}[/tex]

ainsi p>p' et on a bien augmenté le nombres d echances de sauver les 100 prisonniers !

Conclusion : La probabilité de survie de chaque prisonnier est toujours égale à 1/2, mais la probabilité de survie du groupe dépend de la stratégie appliquée ...