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1. Soit x et y les longueurs des côtés du rectangle.
On a :
— l'aire du rectangle est de 10125 cm², donc : xy = 10125
— le périmètre du rectangle est de 804 cm, donc : 2x + 2y = 804
Soit le système :
{ x + y = 402
{ xy = 10125
{ y = 402 − x
{ x(402 − x) = 10125
ou { x = 402 − y
{ (402 − y)y = 10125
x et y sont donc solutions du système : −x² + 402x − 10125 = 0
soit : x² − 402x + 10125 = 0
[ce qui est normal, puisque lorqu'on connaît :
— la somme S
— et le produit P
de deux nombres,
ces nombres sont solutions de l'équation : x² − Sx + P = 0]
Comme le discriminant de l'équation x² − 402x + 10125
est b² − 4ac = 402² − 4(1)(10125) = 121104 = 348² qui est un nombre positif
les racines de l'équation et donc les nombres recherchés sont :
— d'une part : (−b + √Δ)/2a = (402 + 348)/2 = 375
— d'autre part : (−b − √Δ)/2a = (402 − 348)/2 = 27
Le rectangle a donc une longueur de 375 cm
pour une largeur de 27 cm.
2. y = 3x² + bx + c
a. Si la parabole passe par les points (1 ; 3) et (−3 ; 4), elle a en ces points pour équation :
— au premier : 3 = 3(1)² + b(1) + c soit b + c = 0
— au second : 4 = 3(−3)² + b(−3) + c soit 4 = 3 × 9 −3b + c
d'où −3b + c = −23
soit le système :
{ b + c = 0
{ −3b + c = −23
ce qui donne par soustraction par parties : 4b = 23
b = 23/4
= 5,75
d'où c = −b
= −5,75
ce qui donne l'équation y = 3x² + 5,75x − 5,75
b. Si le point (−2 ; 5) est le sommet de la parabole,
comme ce point a pour abscisse : −b/2a
on a donc −b/2(3) = −2
b = 2 × 6
= 12
On a donc, au point (−2 ; 5) l'équation : 5 = 3(−2)² + 12(−2) + c
c = 5 − 12 + 24
= 17
Ce qui donne l'équation y = 3x² + 12x + 17