Répondre :
u_n=(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))
=(1*2*3*...*(2n-1)*(2n))/(2² *4² *6² *...* (2n)²)
=((2n)!)/((n!)²*2^(2n))
u_1=1/2=0,5
u_2=3/8=0,375
u_3=5/16=0,3125
u_4=35/128=0,273438
u_5=63/256=0,246094
on conjecture que :
* u est décroissante
* u est convergente vers 0
on montre par récurrence que : 0<u_n<1/√(2n+1) :
* Initialisation : u_1=1/2 donc 0<u_1<1/√(2*1+1)
* Hérédité : on suppose qu'il existe n tel que 0<u_n<1/√(2n+1)
donc 0<((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<1/√(2n+1)
donc 0*(2n+1)/(4(n+1)²)<*(2n+1)/(4(n+1)²)((2n)!)/((n!)²*2^(2n))<(2n+1)/(4(n+1)²)/√(2n+1)
donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<√(2n+1)/(4(n+1)²)
donc 0<((2n+1)!)/((n+1)!)²*2^(2n+2))<1/√(2n+3)
donc 0<u_(n+1)<1/√(2n+3)
* Conclusion : ∀ n ∈ IN : 0<u_n<1/√(2n+1)
or la suite (1/√(2n+1)) est décroissante et convergente vers 0
d'après le th des "gendarmes" : u converge aussi vers 0
de plus, u_n=Γ(n+1/2)/(√π * Γ(n+1)) où Γ est la fonction "Gamma d'EULER"